RAZONES TRIGOMETRICAS

Las razones trigonométricas 

Se utilizan  para resolver triángulos (tanto lados como ángulos) y son las siguientes:

NOMBRE DE LA RAZÓN	ABREVIATURA	FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Seno	Sen	Sen q=cateto opuesto                             hipotenusa
Coseno	Cos	Cos q= cateto adyacente                            hipotenusa
Tangente	Tan o Tg	Tan q=  cateto opuesto                        cateto adyacente
Cotangente	Cot	Cot q= cateto adyacente                         cateto opuesto
Secante	Sec	Sec q=    hipotenusa                             cateto adyacente
Cosecante	Csc	Csc q=   hipotenusa                               cateto opuesto

Dónde:

Co: Cateto Opuesto

Ca: Cateto Adyacente

Hip: Hipotenusa

Cabe mencionar que para saber si el resultado está bien  la hipotenusa siempre será mayor a los catetos, si el resultado de un cateto sale mayor a la hipotenusa esta incorrecto.

Ejemplo 1: 

Resolver el siguiente triangulo

Para resolver los ángulos se realiza una diferencia, en este caso se conoce el valor de dos ángulos, el de 90° que es el recto y el de 45°, por lo tanto se hace lo siguiente:

45° + 90° + a = 180°

Se coloca el 180°, porque se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera es de 180°, por lo tanto se realiza lo siguiente.

135° + a = 180°

En este caso el 135° se pasa al lado derecho pues se desea despejar la variable y como esta se encuentra sumando al 135° pasa restando, dejando sola a la variable y obteniendo el resultado.

a= 180° - 135°

a= 45°

Posteriormente se colocan las razones trigonométricas:

Sen a= Cateto opuesto

                 hipotenusa

Cos a= Cateto adyacente

                 hipotenusa

Tan a=    Cateto opuesto    

              Cateto adyacente

Cot a=  Cateto adyacente  

             Cateto opuesto

Sec a=    Hipotenusa       

            Cateto adyacente

Csc a=   Hipotenusa     

            Cateto opuesto

Cabe mencionar que solo se seleccionaran aquellas razones que  nos ayuden a saber el valor de los lados no conocidos, pero que si cuenten con un valor conocido, en este caso nuestro cateto adyacente es el lado b, pues hemos seleccionado  el ángulo que ya teníamos (45°) y nuestro cateto opuesto es el lado restante, pues se sabe que siempre el lado opuesto al ángulo recto será la hipotenusa.

Cateto opuesto: Es aquel lado que se encuentra opuestamente al ángulo seleccionado.

Cateto adyacente: Es aquel lado  que une al ángulo seleccionado y al ángulo recto.

En este caso la razón que será ocupada primero será:

Cos a= Cateto adyacente

                 hipotenusa

Pues cuenta con el valor por conocer (hipotenusa), así como con el   valor conocido (cateto adyacente); también se sabe que  la secante es posible ocuparla, pero siempre se ocuparan las tres primeras razones ya que por cuestiones prácticas en la calculadora no aparecen las razones restantes (cotangente, secante y cosecante). Por lo tanto se resuelve de la siguiente manera:

Cos a= Cateto adyacente

                 hipotenusa

En este paso sustituiremos el valor conocido que es 8 donde corresponde:

Cos 45°=         8        

                hipotenusa

Después hipotenusa cambia de posición a la izquierda para pasarla como numerador, pero pasa multiplicando porque se encontraba dividiendo:

(Hip)(Cos 45°)= 8

Posteriormente para despejar la hipotenusa se pasa el Cos 45° a la derecha, pero pasa dividiendo pues se encontraba multiplicando:

Hip=      8       

         Cos 45°

Para sacar el valor de Cos 45° se ocupa la calculadora, colocando 45 y Cos o viceversa Cos 45, dependiendo el tipo de función de la calculadora, saliendo como resultado: 0.7071067811186, pero solo se colocaran los cuatro primeros decimales, quedando de la siguiente manera:

Hip=    8   

        .7071

Por último se realiza la división correspondiente, así se obtiene el resultado de la hipotenusa también conocida como c.

Hip o c = 11.31 cm

Ahora, para sacar el valor del cateto adyacente se pueden ocupar las siguientes razones trigonométricas:

Cos 45°°= Cateto adyacente

                    hipotenusa

Tan 45°=    Cateto opuesto    

                  Cateto adyacente

En este caso optaremos por:

Tan 45°=    Cateto opuesto    

              Cateto adyacente

Posteriormente sustituiremos el valor conocido que es 8 donde corresponde:

Tan 45°=          8        

                  Cateto adyacente

Después cateto adyacente cambia de posición para dejar como numerador al 8, pero pasa multiplicando porque se encontraba dividiendo:

(cateto adyacente)(Tan45°)= 8

Después se realiza lo correspondiente con Tan 45

(cateto adyacente)(1)= 8

Para sacar el valor de Tan 45° se ocupa de nuevo la calculadora, colocando 45 y Tan o viceversa Tan 45°, dependiendo el tipo de función de la calculadora, saliendo como resultado: 1

Para despejar a cateto adyacente que es de quien queremos sacar el valor lo pasamos del otro lado a 1 (tan 45°) pero como esta multiplicando pasa dividiendo quedando de la siguiente manera:

ca=   8   

         1

ca=8

Es necesario tener en cuenta lo siguiente: los resultados pueden ser aceptados a menos que tengan una diferencia de 3 decimales mínimo, si no fuese así el resultado no es aceptable.

Ejemplo 2: 

Resuelve el siguiente Δ (triangulo).

Para resolver este triángulo por medio de razones se ocupa la razón de Sen o Cos, también se ocupa el teorema de Pitágoras, en este caso no se tiene un valor de los ángulos por lo tanto ocuparemos el teorema de Pitágoras:

c²= a² + b²

c²= (15)² + (18)²

c²= 225 + 324

c²= 549

c=raiz cuadrada de 549

c= 23.43 cm

Ahora, para solucionar los ángulos ocuparemos la razón trigonométrica:

Tan x=    Cateto opuesto   

             Cateto adyacente

Donde se sustituirán los valores que ya conocemos

Tan x = 15 

              18

Después realizaremos la división:

Tan x = 0.8333

Posteriormente despejaremos la x pasando Tan dividiendo pues se encuentra multiplicando a la variable.

 X= 0.8333  

         Tan

Para poder realizar la división ha Tan se le coloca el exponente negativo, se sabe que todo número sin exponente siempre es 1, por lo tanto al pasar negativo, Tan pasa como numerador multiplicando a 0.8333:

x = Tan ^-1 (0.8333)

Para saber el valor de Tan ^-1 se coloca en la calculadora, Tan ^-1 multiplicando a 0.8333 o viceversa, de nuevo depende la función de la calculadora, quedando de la siguiente manera:

x = 39.8°

Posteriormente teniendo el valor de x se realiza una diferencia para saber el valor del ángulo a.

90° + 39.8° + a= 180°

129.8° + a= 180°

a= 180° - 129.8°

a= 50.2°

De esta forma se puede resolver un triángulo al que se le desconocen los dos ángulos.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS Y COMPLEMENTARIAS

Dos cantidades son reciprocas cuando su producto es la unidad (1). En el caso de las razones, reciproco se refiere la el contrario de una función:

Es decir es recíproca la función sen a csc, cos a sec, tan a cot.

Ejemplo 1:

Csc q * sen q = 1

De tal modo que si se despeja queda de la siguiente manera:

Cscq= 1/senq  y    senq= 1/cscq   

Pero si tuviéramos valores es decir que q=35° entonces la csc seria de la siguiente manera

Csc 35°=1/sen35° es decir = 1/0.57357 = 1.74346

Ejemplo 2:

Cos q * sec q = 1

De tal modo que si se despeja queda de la siguiente manera:

Cosq= 1/secq  y    secq=1/cosq     

Pero si tuviéramos valores es decir que q=40° entonces en este caso la sec seria de la siguiente manera

Sec 40°= 1/cos 40° es decir = 1/0.76604 =1.30445         

Ejemplo 3:

Tanq * cot q = 1

De tal modo que si se despeja queda de la siguiente manera:

Tanq= 1/cotq  y    cotq= 1/tanq     

Pero si tuviéramos valores es decir que q=20° entonces en este caso la cot seria de la siguiente manera

Cot 20°= 1/tan 20°  es decir= 1/ 0.36379 = 2.74747

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS


Dos ángulos son complementarios cuando suman 90°; ejemplo, 15° y 75° ó 35° y 55° ambos ángulos son complementarios por que al sumarlos obtenemos 90°
En un triángulo rectángulo sus ángulos agudos son complementarios, es decir suman 90°
El prefijo co indica que el coseno de un ángulo es el seno de su complementario y viceversa;que la cotangente es la tangente de su complemento y que la cosecante es igual que la secante de su complemento y viceversa.
Es decir:

sen30° = cose60°
sec15° = csc75°
tan35° =  cot55°


Ejemplo:
comprueba las siguientes funciones complementarias:

a)sen30°= cos________
b)cos45° = sen________

Solución.
a) sen30°=cos60°
b)cos45°=sen45°

VALORES EXACTOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE  LOS ANGULOS DE 30°, 45° Y  60°

VALORES DE 30° Y 60°

Los pasos para sacar por método grafico los valores exactos de 30° y 60°, son los siguientes:

a)    Formar un triángulo equilátero con longitud de 2cm cada lado.

b)    Dividirlo en dos partes iguales, a partir del punto medio de la base hasta el vértice opuesto.

c)    Tomar uno d los dos triángulos con la longitud  que le corresponden.

d)    Con el teorema de Pitágoras localizar el lado restante.

e)    Seleccionar un Angulo diferente (¹) al recto (90°), para determinar las razones trigonométricas.

VALORES EXACTOS DE 45°

Los pasos para sacar por método gráfico los valores exactos de 45°, son los siguientes:

a)  Formar un cuadrado con valor de 1 por cada lado.

b)    Trazar una diagonal (/) de vértice a vértice. La diagonal no debe ser inversa.

c)    Seleccionas uno de los triángulos; se recomienda el del lado derecho, y se determina su longitud (valores).

d)    Por medio del teorema de teorema de Pitágoras conocemos la hipotenusa, es decir el valor faltante.

e)    Seleccionar cualquier de los dos ángulos diferentes al recto (90°) y determinar las razones trigonométricas.