Las
razones trigonométricas
Se utilizan para
resolver triángulos (tanto lados como ángulos) y son las siguientes:
NOMBRE DE LA RAZÓN
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ABREVIATURA
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FUNCIÓN
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Seno
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Sen
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Sen q=cateto opuesto hipotenusa
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Coseno
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Cos
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Cos q= cateto adyacente hipotenusa
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Tangente
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Tan o Tg
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Tan q= cateto opuesto cateto adyacente
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Cotangente
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Cot
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Cot q= cateto adyacente cateto opuesto
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Secante
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Sec
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Sec q= hipotenusa cateto adyacente
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Cosecante
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Csc
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Csc q= hipotenusa cateto opuesto
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Dónde:
Co:
Cateto Opuesto
Ca:
Cateto Adyacente
Hip:
Hipotenusa
Cabe
mencionar que para saber si el resultado está bien la hipotenusa siempre será mayor
a los catetos, si el resultado de un cateto sale mayor a la hipotenusa esta
incorrecto.
Ejemplo
1:
Resolver
el siguiente triangulo
Para resolver los ángulos se
realiza una diferencia, en este caso se conoce el valor de dos ángulos, el de
90° que es el recto y el de 45°, por lo tanto se hace lo siguiente:
45° + 90° + a = 180°
Se coloca el 180°, porque se
sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera es de 180°,
por lo tanto se realiza lo siguiente.
135° + a
= 180°
En este caso el 135° se pasa
al lado derecho pues se desea despejar la variable y como esta se encuentra
sumando al 135° pasa restando, dejando sola a la variable y obteniendo el
resultado.
a= 180° - 135°
a= 45°
Posteriormente se colocan
las razones trigonométricas:
Sen a= Cateto opuesto
hipotenusa
Cos a= Cateto adyacente
hipotenusa
Tan a= Cateto opuesto
Cateto adyacente
Cot a= Cateto adyacente
Cateto opuesto
Sec a= Hipotenusa
Cateto adyacente
Csc a= Hipotenusa
Cateto opuesto
Cabe mencionar que solo se
seleccionaran aquellas razones que nos
ayuden a saber el valor de los lados no conocidos, pero que si cuenten con un
valor conocido, en este caso nuestro cateto adyacente es el lado b, pues hemos
seleccionado el ángulo que ya teníamos
(45°) y nuestro cateto opuesto es el lado restante, pues se sabe que siempre el
lado opuesto al ángulo recto será la hipotenusa.
Cateto
opuesto: Es aquel lado que se encuentra opuestamente al ángulo
seleccionado.
Cateto
adyacente: Es aquel lado que
une al ángulo seleccionado y al ángulo recto.
En este caso la razón que
será ocupada primero será:
Cos a= Cateto adyacente
hipotenusa
Pues cuenta con el valor por
conocer (hipotenusa), así como con el valor conocido (cateto adyacente); también se
sabe que la secante es posible ocuparla,
pero siempre se ocuparan las tres primeras razones ya que por cuestiones prácticas
en la calculadora no aparecen las razones restantes (cotangente, secante y
cosecante). Por lo tanto se resuelve de la siguiente manera:
Cos a= Cateto adyacente
hipotenusa
En este paso sustituiremos el valor
conocido que es 8 donde corresponde:
Cos 45°= 8
hipotenusa
Después hipotenusa cambia de posición a
la izquierda para pasarla como numerador, pero pasa multiplicando porque se encontraba
dividiendo:
(Hip)(Cos 45°)= 8
Posteriormente para despejar la
hipotenusa se pasa el Cos 45° a la derecha, pero pasa dividiendo pues se
encontraba multiplicando:
Hip= 8
Cos 45°
Para sacar el valor de Cos 45° se ocupa
la calculadora, colocando 45 y Cos o viceversa Cos 45, dependiendo el tipo de
función de la calculadora, saliendo como resultado: 0.7071067811186, pero solo
se colocaran los cuatro primeros decimales, quedando de la siguiente manera:
Hip= 8
.7071
Por último se realiza la división
correspondiente, así se obtiene el resultado de la hipotenusa también conocida
como c.
Hip
o c = 11.31 cm
Ahora, para sacar el valor
del cateto adyacente se pueden ocupar las siguientes razones trigonométricas:
Cos 45°°= Cateto adyacente
hipotenusa
Tan 45°= Cateto opuesto
Cateto adyacente
En este caso optaremos por:
Tan 45°= Cateto opuesto
Cateto adyacente
Posteriormente sustituiremos el valor
conocido que es 8 donde corresponde:
Tan 45°= 8
Cateto adyacente
Después cateto adyacente cambia de posición para dejar como numerador al 8, pero pasa multiplicando
porque se encontraba dividiendo:
(cateto adyacente)(Tan45°)= 8
Después se realiza lo correspondiente con
Tan 45
(cateto adyacente)(1)= 8
Para sacar el valor de Tan 45° se ocupa
de nuevo la calculadora, colocando 45 y Tan o viceversa Tan 45°, dependiendo el
tipo de función de la calculadora, saliendo como resultado: 1
Para despejar a cateto adyacente que es de quien queremos sacar el valor lo pasamos del otro lado a 1 (tan 45°) pero como esta multiplicando pasa dividiendo quedando de la siguiente manera:
ca= 8
1
ca=8
Es necesario tener en cuenta lo
siguiente: los resultados pueden ser
aceptados a menos que tengan una diferencia de 3 decimales mínimo, si no fuese así
el resultado no es aceptable.
Ejemplo 2:
Resuelve el siguiente Δ (triangulo).
Para resolver este triángulo por medio de
razones se ocupa la razón de Sen o Cos, también se ocupa el teorema de Pitágoras,
en este caso no se tiene un valor de los ángulos por lo tanto ocuparemos el
teorema de Pitágoras:
c2= a2
+ b2
c2= (15)2
+ (18)2
c2= 225 + 324
c2= 549
c=raiz cuadrada de 549
c= 23.43
cm
Ahora, para solucionar los ángulos
ocuparemos la razón trigonométrica:
Tan x= Cateto opuesto
Cateto adyacente
Donde se sustituirán los valores que ya conocemos
Tan x = 15
18
Después realizaremos la división:
Tan x = 0.8333
Posteriormente despejaremos
la x pasando Tan dividiendo pues se encuentra
multiplicando a la variable.
X= 0.8333
Tan
Para poder realizar la división ha Tan se
le coloca el exponente negativo, se sabe que todo número sin exponente siempre
es 1, por lo tanto al pasar negativo, Tan pasa como numerador multiplicando a
0.8333:
x = Tan -1 (0.8333)
Para saber el valor de Tan -1
se coloca en la calculadora, Tan -1 multiplicando a 0.8333 o
viceversa, de nuevo depende la función de la calculadora, quedando de la
siguiente manera:
x =
39.8°
Posteriormente teniendo el
valor de x se
realiza una diferencia para saber el valor del ángulo a.
90° + 39.8° + a= 180°
129.8° + a= 180°
a= 180° - 129.8°
a= 50.2°
De esta forma se puede
resolver un triángulo al que se le desconocen los dos ángulos.
gracias, muy util
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