LEY DE SENOS

El teorema de la ley de senos nos dice: que para un triángulo con lados a,b,c  y ángulos opuestos a,b,q respectivamente se utiliza ley de senos:

La ley de senos se aplica para resolver un triángulo conociendo el LAA (Donde L=lado  y  A=ángulo)

Ejemplo 1:

Resuelve el triángulo que tiene los siguientes datos:

a=30°; b=80° y a =5

Solución:

Para resolver los triángulos oblicuángulos se debe tomar en cuenta que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°

Por lo tanto:

30° + 80° + q =180°

q= 180°-110°

q =70°

Ahora aplicando la ley de senos se tienen los siguientes datos:

  a=5                 b=?                                                                                                                                      a =30°            b=80°

Se aplica la formula con los datos obtenidos quedando de la siguiente manera:

   5         =      b                                                                                                                                             sen 30°      sen 80°

Y se despeja:

5(sen80°)= b(sen30°)

b= 5(sen80°)/sen30°

 b=5(0.9848)/0.5

b= 9.8 unidades lineales

Y para el lado c se realiza el mismo procedimiento

Ejemplo:

   b          =       c                                                                                                                                          sen b           sen q

   9.8       =       c                                                                                                                                          sen 80°        sen 70°

 c(sen80°)=9.8(sen70°)

 c=9.8(sen70°)/sen80°

 c=9.8(0.9396)/0.9848

 c=9.3 unidades lineales

Ahora tenemos resuelto nuestro triángulo:

 a=5      a=30°

b=9.8   b=80°

c=9.3   q=70°

LEY DE COSENOS

Se utiliza para triángulos oblicuángulos. Donde  el teorema nos dice que para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos  a,b,q, respectivamente, el cuadrado de un lado es igual a la  suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces su producto por el coseno de un ángulo incluido.

Representado de la siguiente manera:

a2=b2+c2-2bc Cos a  b2=a2+c2-2ac Cos b  c2=a2+b2-2ab Cos q

Con la ley de cosenos se podrá resolver:

Caso 1: se conocen dos lados y un ángulo incluido (LAL)

Caso 2: se conocen tres lados (LLL)

Ejemplo:

Resuelve el siguiente triángulo de acuerdo a la ley de cosenos que tiene los siguientes datos:

  a=2; b=3 y q=60°

Solución:

Utiliza ley de cosenos para conocer el tercer lado c

c²=a²+b²-2ab Cos q

Se sustituyen valores:

c²=2²+3²-2(2)(3) Cos 60°

c²= 4+9-12(0.5)

c²=13-6

c²=7

c=√7

c=2.64

Para el ángulo a, se utiliza la fórmula:

a²=b²+c²-2bc Cos a

Se despeja de la fórmula el cos a: 

 a²-b²-c²=-2bc Cos a

Cos a = a²-b²-c²  / -2bc

Sustituyendo valores:         

Cos a = 2²-3³-2.64² / -2 (3)(2.64) 

Cos a= -11.96 / -15.84

Cos a=   0.7550     

a= cos^-1 (0.7550)

a=  40.97°

Para obtener el valor del ángulo b se efectúa el mismo procedimiento, solo que se cambia a la fórmula de  b²=a²+c²-2ac Cos b y se despeja, cuando se tiene todo el procedimiento el resultado que obtenemos es que b= 79.10° por lo tanto tenemos nuestro triángulo resuelto:

 a= 2                                      a=40.97°

 b=3                                      b=79.10°

 c= 2.64                                q=60°