POLÍGONOS CONGRUENTES

Polígonos Congruentes 

Los triángulos o polígonos congruentes  son aquellos que tienen la misma forma y tamaño, por lo tanto para que sean congruente se requiere los dos aspectos siguientes:

   1) Sus lados son homólogos, es decir iguales.

  2) Sus ángulos son homólogos, es decir iguales.

Para representar que los triángulos son congruentes se requiere el símbolo@.

Donde el símbolo = representa la longitud, es decir, los lados.

Y donde el símbolo~representa  la amplitud, es decir, los ángulos; cabe mencionar que este símbolo se ocupa para los triángulos semejantes.

Ejemplo:

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Postulado I: Lado, Lado, Lado ( L,L,L)

Dos triángulos son congruentes si sus lados son iguales

Ejemplo:

Postulado II: Ángulo, Lado, Ángulo (A,L,A)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado adyacente (que los une) son respectivamente iguales.

Ejemplo:

Postulado III: Lado, Ángulo, Lado ( L,A,L)

Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo formado por estos son respectivamente iguales.

Ejemplo:

TEOREMA DE PITÁGORAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras  se utiliza para resolver triángulos con respecto a sus lados.

Resolver  un triángulo: En trigonometría se refiere a conocer  los tres lados y tres ángulos  de un triángulo rectángulo, por medio de métodos analíticos.

Para resolver un triángulo con respecto sus lados es necesario utilizar un triángulo rectángulo. 

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Es aquel triangulo cuyo uno de sus ángulos es recto (90°),  mencionando que el lado opuesto a dicho ángulo se llama hipotenusa y los lados restantes se llaman catetos.

Ejemplo:(triangulo rectángulo)

El teorema de Pitágoras nos dice: c²= a² + b²; es decir el cuadrado  construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Ejemplo: 

Dónde: a=4, b=5 y c=6.

Ejemplo 1:

Calcular el valor de la hipotenusa desconocida con los catetos dados:

a= 5     b=12    c=___________

Donde el  5 se eleva al cuadrado al igual que el 12.

a= (5)²      b= (12)²

a= 25    b=144

Si  c²= a² + b²  entonces:

c²= 25 + 144

c²= 169

c= raíz cuadrada de 169 que nos da como resultado que:

c=13

Ejemplo 2:

Dado el valor de la hipotenusa, calcular el valor del cateto no dado.

b= 7    c=25   a=_________

En este caso la formula general del teorema de Pitágoras cambia:

c²= a² + b²  

Quedando así:

c² – b²= a²

Entonces el 25 se eleva al cuadrado menos el cuadrado del  7.

a²= (25)²- (7)²

a²=625-49

a²=576

a= raíz cudrada de 576, que dos deja como resultado que: 

a=24

RAZONES TRIGOMETRICAS

Las razones trigonométricas 

Se utilizan  para resolver triángulos (tanto lados como ángulos) y son las siguientes:

NOMBRE DE LA RAZÓN	ABREVIATURA	FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Seno	Sen	Sen q=cateto opuesto                             hipotenusa
Coseno	Cos	Cos q= cateto adyacente                            hipotenusa
Tangente	Tan o Tg	Tan q=  cateto opuesto                        cateto adyacente
Cotangente	Cot	Cot q= cateto adyacente                         cateto opuesto
Secante	Sec	Sec q=    hipotenusa                             cateto adyacente
Cosecante	Csc	Csc q=   hipotenusa                               cateto opuesto

Dónde:

Co: Cateto Opuesto

Ca: Cateto Adyacente

Hip: Hipotenusa

Cabe mencionar que para saber si el resultado está bien  la hipotenusa siempre será mayor a los catetos, si el resultado de un cateto sale mayor a la hipotenusa esta incorrecto.

Ejemplo 1: 

Resolver el siguiente triangulo

Para resolver los ángulos se realiza una diferencia, en este caso se conoce el valor de dos ángulos, el de 90° que es el recto y el de 45°, por lo tanto se hace lo siguiente:

45° + 90° + a = 180°

Se coloca el 180°, porque se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera es de 180°, por lo tanto se realiza lo siguiente.

135° + a = 180°

En este caso el 135° se pasa al lado derecho pues se desea despejar la variable y como esta se encuentra sumando al 135° pasa restando, dejando sola a la variable y obteniendo el resultado.

a= 180° - 135°

a= 45°

Posteriormente se colocan las razones trigonométricas:

Sen a= Cateto opuesto

                 hipotenusa

Cos a= Cateto adyacente

                 hipotenusa

Tan a=    Cateto opuesto    

              Cateto adyacente

Cot a=  Cateto adyacente  

             Cateto opuesto

Sec a=    Hipotenusa       

            Cateto adyacente

Csc a=   Hipotenusa     

            Cateto opuesto

Cabe mencionar que solo se seleccionaran aquellas razones que  nos ayuden a saber el valor de los lados no conocidos, pero que si cuenten con un valor conocido, en este caso nuestro cateto adyacente es el lado b, pues hemos seleccionado  el ángulo que ya teníamos (45°) y nuestro cateto opuesto es el lado restante, pues se sabe que siempre el lado opuesto al ángulo recto será la hipotenusa.

Cateto opuesto: Es aquel lado que se encuentra opuestamente al ángulo seleccionado.

Cateto adyacente: Es aquel lado  que une al ángulo seleccionado y al ángulo recto.

En este caso la razón que será ocupada primero será:

Cos a= Cateto adyacente

                 hipotenusa

Pues cuenta con el valor por conocer (hipotenusa), así como con el   valor conocido (cateto adyacente); también se sabe que  la secante es posible ocuparla, pero siempre se ocuparan las tres primeras razones ya que por cuestiones prácticas en la calculadora no aparecen las razones restantes (cotangente, secante y cosecante). Por lo tanto se resuelve de la siguiente manera:

Cos a= Cateto adyacente

                 hipotenusa

En este paso sustituiremos el valor conocido que es 8 donde corresponde:

Cos 45°=         8        

                hipotenusa

Después hipotenusa cambia de posición a la izquierda para pasarla como numerador, pero pasa multiplicando porque se encontraba dividiendo:

(Hip)(Cos 45°)= 8

Posteriormente para despejar la hipotenusa se pasa el Cos 45° a la derecha, pero pasa dividiendo pues se encontraba multiplicando:

Hip=      8       

         Cos 45°

Para sacar el valor de Cos 45° se ocupa la calculadora, colocando 45 y Cos o viceversa Cos 45, dependiendo el tipo de función de la calculadora, saliendo como resultado: 0.7071067811186, pero solo se colocaran los cuatro primeros decimales, quedando de la siguiente manera:

Hip=    8   

        .7071

Por último se realiza la división correspondiente, así se obtiene el resultado de la hipotenusa también conocida como c.

Hip o c = 11.31 cm

Ahora, para sacar el valor del cateto adyacente se pueden ocupar las siguientes razones trigonométricas:

Cos 45°°= Cateto adyacente

                    hipotenusa

Tan 45°=    Cateto opuesto    

                  Cateto adyacente

En este caso optaremos por:

Tan 45°=    Cateto opuesto    

              Cateto adyacente

Posteriormente sustituiremos el valor conocido que es 8 donde corresponde:

Tan 45°=          8        

                  Cateto adyacente

Después cateto adyacente cambia de posición para dejar como numerador al 8, pero pasa multiplicando porque se encontraba dividiendo:

(cateto adyacente)(Tan45°)= 8

Después se realiza lo correspondiente con Tan 45

(cateto adyacente)(1)= 8

Para sacar el valor de Tan 45° se ocupa de nuevo la calculadora, colocando 45 y Tan o viceversa Tan 45°, dependiendo el tipo de función de la calculadora, saliendo como resultado: 1

Para despejar a cateto adyacente que es de quien queremos sacar el valor lo pasamos del otro lado a 1 (tan 45°) pero como esta multiplicando pasa dividiendo quedando de la siguiente manera:

ca=   8   

         1

ca=8

Es necesario tener en cuenta lo siguiente: los resultados pueden ser aceptados a menos que tengan una diferencia de 3 decimales mínimo, si no fuese así el resultado no es aceptable.

Ejemplo 2: 

Resuelve el siguiente Δ (triangulo).

Para resolver este triángulo por medio de razones se ocupa la razón de Sen o Cos, también se ocupa el teorema de Pitágoras, en este caso no se tiene un valor de los ángulos por lo tanto ocuparemos el teorema de Pitágoras:

c²= a² + b²

c²= (15)² + (18)²

c²= 225 + 324

c²= 549

c=raiz cuadrada de 549

c= 23.43 cm

Ahora, para solucionar los ángulos ocuparemos la razón trigonométrica:

Tan x=    Cateto opuesto   

             Cateto adyacente

Donde se sustituirán los valores que ya conocemos

Tan x = 15 

              18

Después realizaremos la división:

Tan x = 0.8333

Posteriormente despejaremos la x pasando Tan dividiendo pues se encuentra multiplicando a la variable.

 X= 0.8333  

         Tan

Para poder realizar la división ha Tan se le coloca el exponente negativo, se sabe que todo número sin exponente siempre es 1, por lo tanto al pasar negativo, Tan pasa como numerador multiplicando a 0.8333:

x = Tan ^-1 (0.8333)

Para saber el valor de Tan ^-1 se coloca en la calculadora, Tan ^-1 multiplicando a 0.8333 o viceversa, de nuevo depende la función de la calculadora, quedando de la siguiente manera:

x = 39.8°

Posteriormente teniendo el valor de x se realiza una diferencia para saber el valor del ángulo a.

90° + 39.8° + a= 180°

129.8° + a= 180°

a= 180° - 129.8°

a= 50.2°

De esta forma se puede resolver un triángulo al que se le desconocen los dos ángulos.

VALORES EXACTOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°

VALORES DE 30° Y 60°

Los pasos para sacar por método gráfico los valores exactos de 30° y 60°, son los siguientes:

          a)    Formar un triángulo equilátero con longitud de 2cm en cada lado.

donde a es = 2cm

          b)    Dividirlo en dos partes iguales, a partir del punto medio de la base hasta el vértice opuesto (se forman dos triángulos rectángulos)

          c)    Tomar uno solo de los dos triángulos que se formaron, con la longitud  que le corresponde.

          d)    Con el teorema de Pitágoras localizar la altura del triángulo rectángulo que se forma 

         A²+B²=C²

    C²-B²=A²

    2²-1²=A²

      4-1= A²

Obteniendo así que la altura del triángulo es la raíz cuadrada de 3 como se muestra en la siguiente figura

 e)    Seleccionar un Angulo diferente (¹) al recto (90°), para determinar las razones trigonométricas.

   *seno, coseno y tangente de el ángulo de 30° de acuerdo al angulo se le da nombre a cada uno de los lados, teniendo que el lado con valor 1 es el cateto opuesto (co), el lado de valor 2 es la hipotenusa (hip), y el lado de valor raíz cuadrada de 3 es el cateto adyacente (ca)

por lo tanto:

         Sen30°=  co   

                          hip

         Sen30°=  1  

                         2

             Así es como sabemos que el valor de seno para el angulo de 30° es:   1   

                                                                                                                              2

     Lo mismo se hace para conocer el valor de coseno y tangente de 30°; y para el ángulo de 60° se repite el procedimiento, pero ahora los nombres que reciben se dan respecto del ángulo de 60°, en la siguiente imagen se muestran ya los valores de seno, coseno y tangente para los ángulos de 30° y 60°

       

Recordemos que:

   Sen x=  co                             Cos x=   ca                       Tan x=  ca  

                hip                                         hip                                     co

    

En este caso x= 30° y 60°

VALORES EXACTOS DE 45°

Los pasos para sacar por método gráfico los valores exactos de 45°, son los siguientes:

           a)    Formar un cuadrado con valor de 1 por cada lado.

Donde a y b son iguales  a 1

           b)    Trazar una diagonal (/) de vértice a vértice. La diagonal no debe ser inversa.

           c)    Seleccionas uno de los triángulos; se recomienda el del lado derecho, y se determina su longitud (valores).

    

          d)    Por medio del teorema de teorema de Pitágoras conocemos la hipotenusa, es decir el valor faltante.

   c²=a²+b²

c²=1²+1²

c²= 1+1

obteniendo que:  c²    es = raíz cuadrada de 2, como se muestra en la siguiente figura

      e)    Seleccionar cualquier de los dos ángulos diferentes al recto (90°) y determinar las razones trigonométricas.

 Tan45°=   co  

                  ca

Sen45°=   1    = 1

                            1

     Así es como obtenemos el valor exacto de tangente para el ángulo de 45°; y el mismo procedimiento se realiza para seno y coseno de 45°, a continuación se muestra una imagen con los valores exactos ya expresados:

Como dato, se deja aquí abajo una tabla con los valores exactos de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente de los ángulos notables: