domingo, 28 de septiembre de 2014

RAZONES TRIGOMETRICAS

Las razones trigonométricas 

Se utilizan  para resolver triángulos (tanto lados como ángulos) y son las siguientes:

NOMBRE DE LA RAZÓN
ABREVIATURA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Seno
Sen
Sen q=cateto opuesto                             hipotenusa
Coseno
Cos
Cos q= cateto adyacente                            hipotenusa
Tangente
Tan o Tg
Tan q=  cateto opuesto                        cateto adyacente
Cotangente
Cot
Cot q= cateto adyacente                         cateto opuesto
Secante
Sec
Sec q=    hipotenusa                             cateto adyacente
Cosecante
Csc
Csc q=   hipotenusa                               cateto opuesto

Dónde:
Co: Cateto Opuesto
Ca: Cateto Adyacente
Hip: Hipotenusa

Cabe mencionar que para saber si el resultado está bien  la hipotenusa siempre será mayor a los catetos, si el resultado de un cateto sale mayor a la hipotenusa esta incorrecto.

Ejemplo 1: 
Resolver el siguiente triangulo

Para resolver los ángulos se realiza una diferencia, en este caso se conoce el valor de dos ángulos, el de 90° que es el recto y el de 45°, por lo tanto se hace lo siguiente:

45° + 90° + a = 180°

Se coloca el 180°, porque se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera es de 180°, por lo tanto se realiza lo siguiente.

135° + a = 180°

En este caso el 135° se pasa al lado derecho pues se desea despejar la variable y como esta se encuentra sumando al 135° pasa restando, dejando sola a la variable y obteniendo el resultado.

a= 180° - 135°

a= 45°

Posteriormente se colocan las razones trigonométricas:
Sen a= Cateto opuesto
                 hipotenusa

Cos a= Cateto adyacente
                 hipotenusa

Tan a=    Cateto opuesto    
              Cateto adyacente

Cot a=  Cateto adyacente  
             Cateto opuesto

Sec a=    Hipotenusa       
            Cateto adyacente

Csc a=   Hipotenusa     
            Cateto opuesto

Cabe mencionar que solo se seleccionaran aquellas razones que  nos ayuden a saber el valor de los lados no conocidos, pero que si cuenten con un valor conocido, en este caso nuestro cateto adyacente es el lado b, pues hemos seleccionado  el ángulo que ya teníamos (45°) y nuestro cateto opuesto es el lado restante, pues se sabe que siempre el lado opuesto al ángulo recto será la hipotenusa.

Cateto opuesto: Es aquel lado que se encuentra opuestamente al ángulo seleccionado.
Cateto adyacente: Es aquel lado  que une al ángulo seleccionado y al ángulo recto.
En este caso la razón que será ocupada primero será:

Cos a= Cateto adyacente
                 hipotenusa


Pues cuenta con el valor por conocer (hipotenusa), así como con el   valor conocido (cateto adyacente); también se sabe que  la secante es posible ocuparla, pero siempre se ocuparan las tres primeras razones ya que por cuestiones prácticas en la calculadora no aparecen las razones restantes (cotangente, secante y cosecante). Por lo tanto se resuelve de la siguiente manera:

Cos a= Cateto adyacente
                 hipotenusa
En este paso sustituiremos el valor conocido que es 8 donde corresponde:
Cos 45°=         8        
                hipotenusa

Después hipotenusa cambia de posición a la izquierda para pasarla como numerador, pero pasa multiplicando porque se encontraba dividiendo:

(Hip)(Cos 45°)= 8

Posteriormente para despejar la hipotenusa se pasa el Cos 45° a la derecha, pero pasa dividiendo pues se encontraba multiplicando:
Hip=      8       
         Cos 45°

Para sacar el valor de Cos 45° se ocupa la calculadora, colocando 45 y Cos o viceversa Cos 45, dependiendo el tipo de función de la calculadora, saliendo como resultado: 0.7071067811186, pero solo se colocaran los cuatro primeros decimales, quedando de la siguiente manera:
Hip=    8   
        .7071
Por último se realiza la división correspondiente, así se obtiene el resultado de la hipotenusa también conocida como c.
Hip o c = 11.31 cm
Ahora, para sacar el valor del cateto adyacente se pueden ocupar las siguientes razones trigonométricas:
Cos 45°°= Cateto adyacente
                    hipotenusa

Tan 45°   Cateto opuesto    
                  Cateto adyacente

En este caso optaremos por:

Tan 45°   Cateto opuesto    
              Cateto adyacente

Posteriormente sustituiremos el valor conocido que es 8 donde corresponde:
Tan 45°         8        
                  Cateto adyacente

Después cateto adyacente cambia de posición para dejar como numerador al 8, pero pasa multiplicando porque se encontraba dividiendo:
(cateto adyacente)(Tan45°)= 8
Después se realiza lo correspondiente con Tan 45
(cateto adyacente)(1)= 8
Para sacar el valor de Tan 45° se ocupa de nuevo la calculadora, colocando 45 y Tan o viceversa Tan 45°, dependiendo el tipo de función de la calculadora, saliendo como resultado: 1
Para despejar a cateto adyacente que es de quien queremos sacar el valor lo pasamos del otro lado a 1 (tan 45°) pero como esta multiplicando pasa dividiendo quedando de la siguiente manera:
ca=   8   
         1
ca=8
Es necesario tener en cuenta lo siguiente: los resultados pueden ser aceptados a menos que tengan una diferencia de 3 decimales mínimo, si no fuese así el resultado no es aceptable.


Ejemplo 2: 
Resuelve el siguiente Δ (triangulo).


Para resolver este triángulo por medio de razones se ocupa la razón de Sen o Cos, también se ocupa el teorema de Pitágoras, en este caso no se tiene un valor de los ángulos por lo tanto ocuparemos el teorema de Pitágoras:
c2= a2 + b2
c2= (15)2 + (18)2
c2= 225 + 324
c2= 549
c=raiz cuadrada de 549
c= 23.43 cm
Ahora, para solucionar los ángulos ocuparemos la razón trigonométrica:
Tan x=    Cateto opuesto   
             Cateto adyacente
Donde se sustituirán los valores que ya conocemos
Tan x = 15 
              18
Después realizaremos la división:
Tan x = 0.8333
Posteriormente despejaremos la x pasando Tan dividiendo pues se encuentra multiplicando a la variable.

 X= 0.8333  
         Tan
Para poder realizar la división ha Tan se le coloca el exponente negativo, se sabe que todo número sin exponente siempre es 1, por lo tanto al pasar negativo, Tan pasa como numerador multiplicando a 0.8333:
x = Tan -1 (0.8333)
Para saber el valor de Tan -1 se coloca en la calculadora, Tan -1 multiplicando a 0.8333 o viceversa, de nuevo depende la función de la calculadora, quedando de la siguiente manera:
x = 39.8°

Posteriormente teniendo el valor de x se realiza una diferencia para saber el valor del ángulo a.
90° + 39.8° + a= 180°
129.8° + a= 180°
a= 180° - 129.8°
a= 50.2°
De esta forma se puede resolver un triángulo al que se le desconocen los dos ángulos.

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