INTEGRANTES DEL EQUIPO

COEVALUACION

ANA KAREN CONTRERAS ESCOBAR            CALIF.  10
JAQUELINE BASILIO GONZÁLEZ                   CALIF.  10

CONVERSIÓN DEL SISTEMA SEXAGÉSIMAL AL SISTEMA DECIMAL Y VICEVERSA

MEDIDA DE ÁNGULOS Y SISTEMAS PARA MEDIRLOS

A) DECIMAL

Es de base 10, utiliza como símbolo el punto (.) y como supraíndice ° (indica grados)

B) SEXAGÉSIMAL

Es de base 60, utiliza como símbolo el grado (°), minuto (´) y segundo (´´) 

C) CÍCLICO

Es en base al radian, utiliza a  π con valores expresados en relación a π

RADIAN

Un radian es cuando el radio y la longitud del circulo miden lo mismo 

Ejemplo 1:

Convierte 20° 30´ al sistema decimal

Para hacer la conversión del Sistema Sexagésimal al Sistema Decimal se siguen los siguientes pasos: 

1.Los grados se van a pasar como enteros  -----> 20.0

2. Para convertir los 30´ se divide 30/60 que son los minutos que contiene una hora

Como resultado obtenemos .5        -----> 30´=.5

Y para finalizar subimos el .5 a los enteros, como resultado tenemos que:

20° 30´ = 20.5

Ejemplo 2:

 Convierte 347° 54´37´´ al sistema decimal

1. Los grados se pasan a enteros ------>  347.0

2. Para convertir los 54´ se divide 54/60 que son los minutos que tiene una hora

Como resultado obtenemos  .9       -----> 54´ = .9

3. Se convierten  los 37´´, se divide 37/60 que son los minutos que conforman una hora 

Como resultado obtenemos   .6      -----> 37´´ = .6

Pero como apenas hemos llegado a minutos y lo que queremos obtener son segundos se repite el procedimiento

El .6 de divide entre 60 que son los segundos que conforman un minuto, lo que da como resultado ---> 0.01

Y para finalizar subimos los minutos y los segundos que hemos obtenido a los enteros obteniendo que:

347° 54´37´´ = 347.91

Para hacer la conversión del Sistema Decimal al Sistema Sexagésimal se hace un procedimiento parecido al anterior solo que ahora se multiplicara

Ejemplo 1:

Convierte 25.5 al sistema sexagésimal

Pasos:

1. Los enteros se pasan a grados directamente --------> 25°

2. Para convertir el .5 a minutos se multiplica por 60 que son los minutos que conforman una hora

Se obtiene que: .5*60 = 30´

Para finalizar se suben los minutos que hemos obtenido junto con los grados, quedando nuestra conversion de la siguiente manera: 

25.5 = 25° 30´

RADIANES

RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES

RADIÁN:

Es la medida de un ángulo, donde el vértice de origen se encuentra en el punto medio de una circunferencia, cuyo arco tiene la misma longitud que el radio.

Ejemplo:

La forma para calcular  la longitud del arco de una circunferencia es: s= rq

s= longitud del arco

r= radio

q= amplitud del ángulo

CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES

La fórmula general utilizada para la conversión de grados a radianes o también conocido como la conversión del Sistema Sexagesimal a Sistema Cíclico es:

Ejemplo 1 (Convertir 50° a rad):

Primero se multiplican los grados a convertir por ambos lados de la fórmula para que se pueda representar una igualdad en la fórmula original.

Posteriormente se realiza la multiplicación del lado izquierdo, en este caso se multiplica 50 x 1°;por otra parte se divide el valor de pi (π) entre 180, quedando de esta forma:

50°= (0.0174) (50) rad

Después, el resultado de la división de π entre 180 se multiplica por los grados a convertir (50):

50°=0.87 rad

Así de esa forma se obtiene el valor de 50° en rad.

Para entender he aquí otro ejemplo…

Ejemplo 2 (Convertir 130° a rad):

Primero se multiplican los grados a convertir por ambos lados de la fórmula para que se pueda representar una igualdad en la fórmula original.

Posteriormente se realiza la multiplicación del lado izquierdo, en este caso se multiplica 130 x 1°;por otra parte se divide el valor de pi (π) entre 180, quedando de esta forma:

130°= (0.0174) (130) rad

Después, el resultado de la división de π entre 180 se multiplica por los grados a convertir (130):

130°=2.262 rad

Así de esa forma se obtiene el valor de 130° en rad.

CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS

La fórmula general utilizada para la conversión de radianes a grados o también conocido como la conversión del Sistema Cíclico a Sistema Sexagesimal es:

Ejemplo 1 (convertir 2π rad= ¿? Grados):

Del mismo modo que la conversión de grados a radianes, Primero se multiplican el rad a convertir por ambos lados de la fórmula para que se pueda representar una igualdad en la fórmula original.

Posteriormente se realiza la multiplicación del lado izquierdo, en este caso 2π x rad; por otra parte 2π sustituye al 180 de modo que 2π se divida entre π y el resultado se multiplique por 180, quedando de la siguiente manera:

El resultado queda de la siguiente manera, pues π al dividirse entre π se cancela:

2π rad = 2 (180)

Después, el 2 se multiplica con el 180, teniendo como resultado lo siguiente:

2π rad = 360°

Ejemplo 2 (Convertir 5π rad = ¿? Grados)

Del mismo modo que la conversión de grados a radianes, Primero se multiplican el rad a convertir por ambos lados de la fórmula para que se pueda representar una igualdad en la fórmula original.

Posteriormente se realiza la multiplicación del lado izquierdo, en este caso 5π x rad; por otra parte 5π sustituye al 180 de modo que 5π se divida entre π y el resultado se multiplique por 180, quedando de la siguiente manera:

El resultado queda de la siguiente manera, pues π al dividirse entre π se cancela:

5π rad = 5 (180)

Después, se multiplica 5 por el 180, teniendo como resultado:

5π rad = 900°

TRIÁNGULOS

El triángulo 

Es un polígono de tres lados, determinado por tres ángulos y tres vértices para la notación de un triángulo, se emplea el símbolo: Δ

El triángulo Δ ABC, tiene:

 1) Sus vértices se denotan por letras mayúsculas: A, B, y C.

           2) Sus lados de denotan por la misma letra del vértice opuesto, pero en minúscula: a, b y c.

CLASIFICACIÓN DE  TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS

Se clasifican según sus lados en:

   1.-Escalenos: son aquellos que tienen los tres lados distintos

   2.-Isósceles: son los que tienen dos lados iguales y uno desigual

   3.-Equilátero: son los que cuentan con los tres lados iguales

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Esta clasificación se debe a sus ángulos.

1.-Rectángulos: son aquellos que cuentan con un anguilo recto, esto es, que mida exactamente 90°.

2.-Acutángulos: son aquellos que tienen los tren ángulos agudos, es decir, que midan menos de 90°.

3.-Obtusángulos: son aquellos que tiene un ángulo obtuso, esto es, que mida más de 90° pero menos de 180°.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Propiedad 1:

La suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180°. 

Esto es: A+B+C=180°

Propiedad 2 (Propiedad Triangular): 

Cada lado debe ser menor que la suma que los otros dos lados.

Esto es: 5+5 =10 y si sumamos cualquier otro lado siempre nos va a dar un resultado mayor que el lado cualquiera sobrante 

Propiedad 3:

1) El triángulo equilátero tiene tres ángulos iguales, es decir, cada uno mide 60° así su suma será de 180°, respetando la primera propiedad.

2)En el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se le denomina hipotenusa y los lados que componen al ángulo recto se denominan, catetos.

3)Un triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo recto, por lo tanto los otros dos ángulos miden lo mismo, es decir 45°.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

MEDIATRIZ

Recta perpendicular  trazada desde el punto medio da cada lado del triángulo a su  prolongación, es decir, su lado opuesto; se cortan en un punto llamado circuncetro, que es el centro de la circunferencia del triángulo.

BISECTRIZ

Es la recta que parte  de cada vértice del triángulo y divide a los ángulos en dos iguales; se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

MEDIANA

Recta trazada desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto a este; se cortan en un punto llamado baricentro, el baricentro es la gravedad del triángulo, es decir, el punto de equilibrio.

ALTURAS

Es  la recta perpendicular trazada desde un vértice a su prolongación, es decir, su lado opuesto; se cortan en un punto llamado ortocentro.

RECTA DE EULER

La recta de Euler contiene los puntos llamados, circuncentro, baricentro y ortocentro en un mismo triangulo.

POLÍGONOS SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, para indicar que dos triángulos son semejantes se utiliza el símbolo~.

Donde el símbolo ~ se lee "es semejante"

Ejemplo:

Para indicar que dos triángulos son semejantes se expresa de la siguiente manera:

ΔABC~ΔA´B´C´ 

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Propiedad I:

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales, ejemplo:

ΔABC~ΔA´B´C´  porque los ángulos son los siguientes:

ÐA=ÐA´

ÐB=ÐB´

ÐC=ÐC´

Ejemplo:

Propiedad II:

Dos triángulos son semejantes si la razón  (comparación entre dos lados) es  proporcional.

Ejemplo:

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Teorema I:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos, es decir iguales, en este caso el teorema solo requiere dos ángulos mientras que la propiedad menciona todos.

Ejemplo:

 Si <C=<C´ y <A=A´, entonces, el Δ ABC~ Δ A´B´C´

Teorema II:

Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales, en este caso el teorema menciona los tres lados mientras que la propiedad solo requiere la razón, lo que quiere decir que es la comparación entre dos lados del triángulo.

Ejemplo:

 

por lo tanto  Δ ABC~ Δ A´B´C´

Teorema III:

Dos triángulos son semejantes  si tienen un ángulo igual y los lados que forman dicho ángulo son proporcionales.

Ejemplo:

 Si <K=<K´ y entonces Δ ABC~ Δ A´B´C´

POLÍGONOS CONGRUENTES

Polígonos Congruentes 

Los triángulos o polígonos congruentes  son aquellos que tienen la misma forma y tamaño, por lo tanto para que sean congruente se requiere los dos aspectos siguientes:

   1) Sus lados son homólogos, es decir iguales.

  2) Sus ángulos son homólogos, es decir iguales.

Para representar que los triángulos son congruentes se requiere el símbolo@.

Donde el símbolo = representa la longitud, es decir, los lados.

Y donde el símbolo~representa  la amplitud, es decir, los ángulos; cabe mencionar que este símbolo se ocupa para los triángulos semejantes.

Ejemplo:

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Postulado I: Lado, Lado, Lado ( L,L,L)

Dos triángulos son congruentes si sus lados son iguales

Ejemplo:

Postulado II: Ángulo, Lado, Ángulo (A,L,A)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado adyacente (que los une) son respectivamente iguales.

Ejemplo:

Postulado III: Lado, Ángulo, Lado ( L,A,L)

Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo formado por estos son respectivamente iguales.

Ejemplo: